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Le nombre d’or : mythe ou symbole de beauté ?

Le nombre d’or : mythe ou symbole de beauté ?

 

Il vaut 1,618... ou pour les puristes (1+√5)/2. On le désigne par la lettre grecque j (phi)  en l’honneur du sculpteur grec Phidias (490-430 avant J. C.) qui décora le Parthénon d’Athènes. Il exprime une harmonie que beaucoup estiment parfaite, qualifiée aussi de divine proportion pour reprendre l’expression utilisée par le moine franciscain (et mathématicien) Fra Luca Pacioli (1445-1517) dans son livre De Divina Proportione.

Connu dès l’antiquité, il semble avoir inspiré de grands artistes, notamment architectes et peintres, dans la réalisation de leurs œuvres, au point de devenir un véritable mythe. Alors :

  • Quelle est son histoire ?
  • Comment le définit-on ?
  • Où le trouve-t-on ?

 

Quelques repères dans l’historique du nombre j

  • On peut trouver dans la Bible mention du nombre d’or, mais sous la forme d’une approximation fractionnaire (5/3 ou 1,666) comme les Anciens avaient l’habitude de le faire avec les nombres irrationnels (ainsi p était approché par la fraction 22/7). Citons par exemple l’arche de Noé : « Cette arche, tu la feras longue de 300 coudées, large de 50 coudées et haute de 30 coudées » (Genèse 6,15) ou la maison de Salomon : « Elle avait 100 coudées de longueur, 50 coudées de largeur et 30 coudées de hauteur » (1, Roi 7,2).
  • 2600 avant J. C. en Egypte : la pyramide de Kheops présente des dimensions liées au nombre d’or.
  • Vème siècle avant J. C. en Grèce : le Parthénon bâti et décoré par Phidias s’inscrit dans un rectangle doré, c’est-à-dire un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal à j.
  • IIIème siècle avant J. C. : Euclide évoque le partage d’un segment de droite en « extrême et moyenne raison » dans son livre VI des Éléments.
  • 1202 : Fibonacci, de son vrai nom Léonardo de Pise, publie une suite de nombres qui porte désormais son nom, dont les manifestations dans la Nature sont nombreuses et qui, nous y reviendrons, est étroitement corrélée au nombre d’or.
  • 1498 : Fra Luca Pacioli écrit De divina proportione, consacré au nombre d’or, à ses propriétés mathématiques, à ses attributs esthétiques, et même à certains aspects mystiques.
  • XXème siècle : Matila Ghyka, diplomate roumain, publie plusieurs ouvrages : L’esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927), Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931) qui insistent sur la prééminence du nombre d’or. Ils inspirent de nombreux artistes et établissent définitivement le mythe.

Fra Luca Pacioli

 

Définition et variations autour du nombre j

C’est le grand EUCLIDE qui publia au 3ème siècle avant J. C. la plus ancienne définition et construction géométrique de la section d’or dans son célèbre ouvrage Les Eléments :

« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit »,

ce qui se traduit par la relation :

                   (X+Y) / X=  X / Y

Posant X / Y =  j,  on trouve après une petite manipulation algébrique :

j2 - j - 1 = 0

qui a pour solution positive  j = (1+ Ö5)/2 = 1,618...

Remarque : l’inverse de j vaut 1/j = 0,618... = j-1

Diverses figures géométriques, mettant en oeuvre le nombre j, sont qualifiées de « dorées ». Citons à titre d’exemples, car souvent mentionnées :

* les triangles dorés, triangles isocèles dont les côtés sont dans le rapport j :  

               AB/BC= j                 EF/DE= j                          

leurs angles à la base mesurent respectivement  72° et 36°

* le rectangle doré

ABCD est tel que  AB/AD = j

Le rectangle BCFE est obtenu en retranchant du rectangle ABCD le plus grand carré possible. Il est aussi doré :

BC/BE = j

 

*  les pentagones réguliers: convexe et étoilé (étoile de shérif)

Les triangles ABC et ADC sont des triangles d’or.

La suite de FIBONACCI est une suite de nombres dont chacun est la somme des 2 nombres qui le précèdent :

1.1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.....

La propriété remarquable de cette suite, c’est que le rapport de 2 termes consécutifs tend vers le nombre d’or quand le rang des termes tend vers l’infini : ainsi si on désigne par Fn le terme de rang n et par Fn+1 le terme de rang n+1, on a :

Fn+1 / Fn à j quand n ® µ

 

De l’usage du nombre d’or

Comment expliquer que nous soyons aussi sensibles au nombre d’or ? Voici ce qu’écrivait récemment le professeur de médecine Lucien Israël dans son livre Cerveau droit, cerveau gauche, cultures et civilisations publié en 1995 :

«  Nous sommes mystérieusement accordés à ce nombre d’or [...] la section d’or agit sur nos sens et par eux sur notre cortex cérébral, essentiellement le droit mais sans doute pas exclusivement, et nous sommes inconsciemment enclins à trouver belles les grandeurs de tous ordres qui entrent dans cette relation [...] ».

Expression de l’équilibre et de l’harmonie, le nombre d’or semble donc intervenir dans toutes les formes de la création artistique. Pour l’illustrer, nous choisirons quelques exemples parmi les plus connus.

Le nombre d’or et l’architecture

La pyramide de Khéops

 

C’est une pyramide régulière à base carrée. Sa demi base mesure 116,40 m.

La hauteur d’une face mesure 188.45 m.

On calcule que le rapport de la hauteur à la demi base vaut exactement 1.618 = j

 La façade du Parthénon

 

Elle s’inscrit dans un rectangle d’or :

DC/DE = j

De même sur la toiture du temple

GF/GI = j

 Le nombre d’or et la peinture (pour obtenir un agrandissement du tableau, cliquez sur l'image)

Le golfe de Marseille vu de l’Estaque (Cézanne)

Utiliser exactement le nombre j n’est pas aisé pour un peintre. En revanche, il lui est facile de découper 3 fois de suite sa toile en 2, ce qui lui permet d’obtenir 8 parties égales (on appelle cela la division 2-4-8 ) et en particulier de déterminer une proportion de 5/8 qui est voisine du nombre d’or (0,625 pour 0,618). C’est ce que l’on peut observer sur le tableau ci-contre : la côte au premier plan commence à gauche aux 5/8 et les rapports 2-4-8 sont bien marqués, en haut et à droite .

 

 

La gare Saint Lazare (Monet)

La charpente de fer est centrée sur une largeur égale à la moitié du tableau et aboutit sur la médiane horizontale. La locomotive et son panache de fumée sont alignés en dessous et les quarts inférieurs sont marqués à gauche par le wagon et à droite par le cheminot.

 

 

 

Parmi les grands maîtres de la Renaissance  qui semblent avoir tiré partie du système 2-4-8, on citera entre autres : Botticelli (La Naissance de Vénus), Poussin (La mort de Saphira), Léonard de Vinci (Isabelle d’Este)... Plus récemment, fin XIXème, Seurat (Parade de cirque), et au XXème, Juan Gris( Le Verre), Jacques Villon...

Le nombre d’or et le règne végétal

Chez de nombreux végétaux, feuilles, écailles et pétales sont disposés en spirales liées au nombre d’or. Ces figures ne font pas partie du patrimoine génétique des végétaux, mais sont plutôt liées à leur dynamique de croissance. Ainsi dans la pomme de pin on trouve 5 spirales orientées à gauche et 8 orientées à droite, dans l’ananas on en trouve 8 et 13 et dans la fleur de tournesol 55 et 89. On observera que ces nombres font partie de la suite de Fibonacci. La branche de la botanique qui traite de ces questions, s’appelle la phyllotaxie.

 

Le nombre d’or et le monde animal ou humain

* On peut mentionner que certains animaux comme l’étoile de mer ont des formes correspondant au pentagone étoilé.

* Le Modulor a été conçu en 1943 par Le Corbusier sur la base du nombre d’or : il s’agit d’une grille de proportions (dans laquelle s’inscrit un homme de 1,83 m au bras levé à 2,26 m) qui devait fournir les mesures normalisées pouvant s’appliquer à toutes les constructions architecturales et mécaniques. On observera que le rapport entre la hauteur totale (1,83 m) et la hauteur du nombril par rapport au sol (1,13m) est égale à j.

* Dans un ordre d’idées voisin, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de 5 tiges articulées correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relative au corps humain : 

- la coudée,  distance du coude à l’extrémité des doigts 52,56 cm
- le pied 52,56 cm
- l’empan, distance entre les extrémités du pouce et de l’auriculaire 20 cm
- la palme, distance entre les extrémités de l’index et de l’auriculaire 12,36 cm
- la paume 7,64 cm

Pour passer d’une mesure à la suivante, on peut constater que l’on multiplie par j.

 

Quelques autres propriétés du nombre d’or

  • si on lui retranche 1, on obtient son inverse       1/j
  • si on lui ajoute 1, on obtient son carré                 j2
  • si on lui ajoute son carré, on obtient son cube   j3
  • si au carré, on ajoute le cube, on obtient la puissance 4, et plus généralement on obtient une puissance quelconque de j en faisant la somme des 2 puissances qui la précèdent : on retrouve la fameuse suite de Fibonacci !

 

En guise de conclusion

Ainsi on trouve ou on croit trouver le nombre d’or un peu partout. De ce fait, il n’est pas étonnant qu’il divise la communauté des historiens et des artistes : ses sectateurs affirment que l’émotion qu’il déclenche chez le spectateur n’est pas due au hasard ; au contraire, ses détracteurs prétendent que rien n’est prouvé car là où on l’a repéré, c’est parce qu’il est bien connu que l’on trouve toujours ce que l’on cherche.

Alors mythe ou réalité ? Il est certain qu’on ne saurait réduire le sentiment esthétique à un simple rapport arithmétique, mais pour autant, peut-on tenir pour insignifiante l’association de la beauté au respect d’une certaine « juste » proportion ? Sans prétendre vouloir trancher dans un débat séculaire, observons seulement que cette notion de juste proportion doit certainement intervenir dans les mécanismes, au demeurant très complexes car faisant appel au subjectif, qui sous tendent le jugement esthétique. Comme l’a défini l’Encyclopédie, elle doit traduire

« une convenance du tout et des parties entre elles dans les ouvrages de goût ».

Pierre Laharrague, Octobre 2004

Source : http://arcea-cesta.fr/dossiers/nombre.htm
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vendredi 16 novembre 2018

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